Capítulo 6 Árboles

6.1 Definición

Un árbol es una estructura no lineal en la que cada nodo puede apuntar a uno o varios nodos.

También se suele dar una definición recursiva: un árbol es una estructura en compuesta por un dato y varios árboles.

Esto son definiciones simples. Pero las características que implican no lo son tanto.

Árbol
Árbol

Definiremos varios conceptos. En relación con otros nodos:

  • Nodo hijo: cualquiera de los nodos apuntados por uno de los nodos del árbol. En el ejemplo, 'L' y 'M' son hijos de 'G'.
  • Nodo padre: nodo que contiene un puntero al nodo actual. En el ejemplo, el nodo 'A' es padre de 'B', 'C' y 'D'.

Los árboles con los que trabajaremos tienen otra característica importante: cada nodo sólo puede ser apuntado por otro nodo, es decir, cada nodo sólo tendrá un padre. Esto hace que estos árboles estén fuertemente jerarquizados, y es lo que en realidad les da la apariencia de árboles.

En cuanto a la posición dentro del árbol:

  • Nodo raíz: nodo que no tiene padre. Este es el nodo que usaremos para referirnos al árbol. En el ejemplo, ese nodo es el 'A'.
  • Nodo hoja: nodo que no tiene hijos. En el ejemplo hay varios: 'F', 'H', 'I', 'K', 'L', 'M', 'N' y 'O'.
  • Nodo rama: aunque esta definición apenas la usaremos, estos son los nodos que no pertenecen a ninguna de las dos categorías anteriores. En el ejemplo: 'B', 'C', 'D', 'E', 'G' y 'J'.

Otra característica que normalmente tendrán nuestros árboles es que todos los nodos contengan el mismo número de punteros, es decir, usaremos la misma estructura para todos los nodos del árbol. Esto hace que la estructura sea más sencilla, y por lo tanto también los programas para trabajar con ellos.

Tampoco es necesario que todos los nodos hijos de un nodo concreto existan. Es decir, que pueden usarse todos, algunos o ninguno de los punteros de cada nodo.

Un árbol en el que en cada nodo o bien todos o ninguno de los hijos existe, se llama árbol completo.

En una cosa, los árboles se parecen al resto de las estructuras que hemos visto: dado un nodo cualquiera de la estructura, podemos considerarlo como una estructura independiente. Es decir, un nodo cualquiera puede ser considerado como la raíz de un árbol completo.

Existen otros conceptos que definen las características del árbol, en relación a su tamaño:

  • Orden: es el número potencial de hijos que puede tener cada elemento de árbol. De este modo, diremos que un árbol en el que cada nodo puede apuntar a otros dos es de orden dos, si puede apuntar a tres será de orden tres, etc.
  • Grado: el número de hijos que tiene el elemento con más hijos dentro del árbol. En el árbol del ejemplo, el grado es tres, ya que tanto 'A' como 'D' tienen tres hijos, y no existen elementos con más de tres hijos.
  • Nivel: se define para cada elemento del árbol como la distancia a la raíz, medida en nodos. El nivel de la raíz es cero y el de sus hijos uno. Así sucesivamente. En el ejemplo, el nodo 'D' tiene nivel 1, el nodo 'G' tiene nivel 2, y el nodo 'N', nivel 3.
  • Altura: la altura de un árbol se define como el nivel del nodo de mayor nivel. Como cada nodo de un árbol puede considerarse a su vez como la raíz de un árbol, también podemos hablar de altura de ramas. El árbol del ejemplo tiene altura 3, la rama 'B' tiene altura 2, la rama 'G' tiene altura 1, la 'H' cero, etc.

Los árboles de orden dos son bastante especiales, de hecho les dedicaremos varios capítulos. Estos árboles se conocen también como árboles binarios.

Frecuentemente, aunque tampoco es estrictamente necesario, para hacer más fácil moverse a través del árbol, añadiremos un puntero a cada nodo que apunte al nodo padre. De este modo podremos avanzar en dirección a la raíz, y no sólo hacia las hojas.

Es importante conservar siempre el nodo raíz ya que es el nodo a partir del cual se desarrolla el árbol, si perdemos este nodo, perderemos el acceso a todo el árbol.

El nodo típico de un árbol difiere de los nodos que hemos visto hasta ahora para listas, aunque sólo en el número de nodos. Veamos un ejemplo de nodo para crear árboles de orden tres:

struct nodo {
   int dato;
   struct nodo *rama1;
   struct nodo *rama2;
   struct nodo *rama3;
};

O generalizando más:

#define ORDEN 5

struct nodo {
   int dato;
   struct nodo *rama[ORDEN];
};

6.2 Declaraciones de tipos para manejar árboles en C

Para C, y basándonos en la declaración de nodo que hemos visto más arriba, trabajaremos con los siguientes tipos:

typedef struct _nodo {
   int dato;
   struct _nodo *rama[ORDEN];
} tipoNodo;
 
typedef tipoNodo *pNodo;
typedef tipoNodo *Arbol;

Al igual que hicimos con las listas que hemos visto hasta ahora, declaramos un tipo tipoNodo para declarar nodos, y un tipo pNodo para es el tipo para declarar punteros a un nodo.

Arbol es el tipo para declarar árboles de orden ORDEN.

Árbol
Árbol

El movimiento a través de árboles, salvo que implementemos punteros al nodo padre, será siempre partiendo del nodo raíz hacia un nodo hoja. Cada vez que lleguemos a un nuevo nodo podremos optar por cualquiera de los nodos a los que apunta para avanzar al siguiente nodo.

En general, intentaremos que exista algún significado asociado a cada uno de los punteros dentro de cada nodo, los árboles que estamos viendo son abstractos, pero las aplicaciones no tienen por qué serlo. Un ejemplo de estructura en árbol es el sistema de directorios y ficheros de un sistema operativo. Aunque en este caso se trata de árboles con nodos de dos tipos, nodos directotio y nodos fichero, podríamos considerar que los nodos hoja son ficheros y los nodos rama son directorios.

Otro ejemplo podría ser la tabla de contenido de un libro, por ejemplo de este mismo curso, dividido en capítulos, y cada uno de ellos en subcapítulos. Aunque el libro sea algo lineal, como una lista, en el que cada capítulo sigue al anterior, también es posible acceder a cualquier punto de él a través de la tabla de contenido.

También se suelen organizar en forma de árbol los organigramas de mando en empresas o en el ejército, y los árboles genealógicos.